Math for Facebook

In the Italian famous song "Notte prima degli esami" [The night before graduation] who sing say: "La matematica non sarà mai il mio mestiere" [The math never be my profession]. Many people forget the elementary rules of mathematics operations. I know that Math is often misunderstanded and somebody hate it refusing every effort to learning it, but the elementaries rules are really simple to acquire, to learn and apply in the daily life. Often, in the socials network, mainly on Facebok, we assist to quiz where mathematicals expressions, generally simple, some time more complicated, are solved by people inventing rules and answers. Don't panic? We can resume the rules of algebra, arithmetics in few rows.

The main operation we learn growing up is the addition of integers, because the need of learn to count things or money. Then we learn to subtract, multiply and divide numbers.There are 4 fundamentals operations: addition, subtraction, multiplication and division.

The fundamentals rules establish that:

+ the plus symbol indicate the addition. The operation among two or more numbers result in a third number, said sum. In explict, given two numbers "a" and "b" the result is the number "c" obtained by adding "b" numbers to "a" .The simplest way is to imagine two sets of objects to operate. We suppose to have two dishes containing beans. The first is A with "a" beans, the second is B with "b" beans. By picking up one bean at time from B and putting it in A until B is not empty we will have the final result consisting in "a+b" beans in A. The dish B will be empty.

- the minus symbol indicate the subtraction operation among two numbers. The resulting number is said difference. In explicit, continuing with beans dishes, we can imagine that on our table we have two dishes. The first is A that contain "a" beans, the second is B, an empty dish. By picking up one bean at time for "b" times (less than "a"), at the end of these operations the dish "A" will contain "a-b" beans.

x (or * or ·) symbol indicate the multiplication operation among two or more numbers. The resulting number is said product. This operation is an adding operation repeated. The a * b= c indicate the c number obtained by adding "b" times "a" to itself. We can say that the multiplication is a short way for adding many objects, many elements. Multiplication operation speed up the counting time of many elements.

÷ (or /) division.In this operation, given two numbers "a" and "b" the purpose is to find the third number "c" that satisfy the inverse relation of the multiplication. Example: a / b= c if c*b=a. The division by zero is not allowed, because there is no number that multiplied for zero will give a non zero number. If there is no integer number that satisfy the inverse operation, the division operation result will have a rest. In fact, as we learn in primaries schools, the result of a division is the biggest number that satisfy the relation: a:b=c + r, where the r symbol represent the rest and r<b (the symbol < is "less than").

Operations involve two or more numbers and can be combined in more complex expressions where the respect of rules of precedence between operations is an important aspect of the calculation. The precedence between operations can be changed by grouping operation among brackets. The operation included in brackets will be executed before these outside the brackets. There are three differents types of brackets: (), [], {}. The simplest are the parentheses ( ) that group few operations. The second type is [ and ] (square brackets), that group one or more (...) groups and other operations, then the last type is braces {}, grouping one or more [... ] groups. Each bracket must be paired with the correspondant bracket of the same type. For each couple of brackets, the left symbol is "open", the right symbole is "closed".

Addition laws: commutative and associative laws.

The commutative laws of addition imply that the result of addition is uninfluenced by position of numbers. We can swap addends obtaining the same result. a+b=b+a 

The associative laws imply that grouping numbers does not change the sum. No matter of the order of operation, the sum is unaltered.

(a+b)+c=a+(b+c)

These laws are also valid for multiplication.

a*b=b*a 

(a*b)*c=a*(b*c)

[That analogy derive from the origin of multiplication as a repeated addition. In place of adding repeatedly the same numbers, the multiplication allow to obtain the same result faster and simpler.]

Per la sottrazione e la divisione non valgono le proprietà di commutazione (scambio dei termini).

a-b è diverso da b-a. Solitamente, alle scuole elementari, il primo numero è maggiore del secondo, per ottenere un risultato ancora positivo (prima di introdurre il concetto di numero negativo che in fondo rappresenta il concetto di debito).  Esempio: 8-3=5 mentre 3-8= - 5

In una sottrazione i nomi dei numeri (termini) coinvolti sono: Minuendo - Sottraendo= Differenza.

Infine la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.

La divisione a:b=c indica il legame tra tre numeri in cui a è il dividendo (cioè il numero da dividere), b è il divisore (il numero per cui viene diviso), c è il quoziente (o quoto), tale che c*b=a. La divisione tra numeri interi non è sempre esatta, cioè senza resto. Infatti, se vogliamo rimanere nell'ambito dei numeri interi (0,1,2,3....) dobbiamo introdurre anche il possibile resto della divisione. Il resto è il numero r minore del divisore tale che: c*b+r=a.Il resto è in pratica la differenza fra il prodotto dei numeri interi c e b ed il dividendo iniziale a:  a-r=c*b. Se il dividendo è un multiplo del divisore il resto è zero, mentre se non lo è avremo sempre un resto diverso da zero. Esempio: 8:2=4 perché 2*4=8, mentre 8:3=2 con resto r=2 perché 2*3=6 e 6+2=8.  Le divisioni con la virgola (cioè quelle con quoziente con numeri decimali) non prevedono il resto perché si continua la divisione sul resto stesso.

Esempio:14:5=2 con il resto di 4 mentre se consideriamo di fare l'operazione con i decimali: 14:5=2,8

La precedenza fra le operazioni.

2+5*2=??

Se non ci fosse una regola di precedenza fra le operazioni, il risultato sarebbe incerto. Infatti, se facessimo prima la somma e poi la moltiplicazione otterremo:

7*2=14

mentre facendo prima la moltiplicazione si ottiene:

2+10=12

La regola stabilisce la precedenza della moltiplicazione rispetto all'addizione, per cui il risultato corretto è 12.

Diversamente avviene con l'uso delle parentesi:

(2+5)*2=7*2=14

In questo caso, l'operazione contenuta dentro la parentesi tonda va svolta prima.

Le parentesi raggruppano e cambiano l'ordine delle operazioni. Si svolgono prima quelle dentro la parentesi e poi quelle esterne.

Esempio: {[(3+8:2)*5-5]:6+1+1}*2=???

 {[(3+4)*5-5]:6+2}*2={[7*5-5]:6+2}*2={[35-5]:6+2}*2={30:6+2}*2={5+2}*2=7*2=14