Matematica

I numeri complessi

I numeri complessi mettono paura per il nome che è stato dato loro. In realtà sono numeri che estendono e completano l'insieme dei numeri reali. Sono numeri perché costituiti da una coppia di numeri (Re,Im) in cui la prima parte è la parte reale  e la seconda parte è immaginaria. L'insieme C dei numeri complessi è costituito dai numeri così definiti: z=a+ib, dove z è la lettera che solitamente si usa per indicare un generico numero complesso, "a" è la parte reale, "b" è il coefficiente (reale) della parte immaginaria ("i" è unità immaginaria). Sui numeri complessi si definiscono le operazioni:

addizione: z1=a+ib, z2=c+id la somma z1+z2=a+ib+c+id=(a+c)+(b+d)i rispetta la proprietà associativa, commutativa e distributiva della addizione.

sottrazione: z1=a+ib, z2=c+id la differenza z1-z2=(a-c)+(b-d)i [la sottrazione è inversa della addizione]

moltiplicazione:z1=a+ib, z2=c+id il prodotto è così definito: z1• z2=(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i2bd=ac-bd+(ad+bc)i dove è stata applicata la definizione di unità immaginaria i2=-1 nel prodotto delle due parti immaginarie. Il prodotto è ancora un numero complesso in cui la parte Re=ac-db, mentre la parte immaginaria Im=ad+bc. Cosa succede se z1=a+ib, z2=a-ib? z1z2=(a+ib)(a-ib)=a2-iab+iab-i2b2=a2-(-1)b2=a2+b2

Per la divisione occorre introdurre un altro concetto, quello del complesso coniugato (che fa pensare tanto ad un matrimonio :-) ).

Moltiplicando un numero complesso per il numero complesso che ha la stessa parte reale (sia in segno che in valore) e opposta parte immaginaria (segno opposto), si ottiene un numero reale che è la somma dei quadrati della parte e del coefficiente della parte immaginaria. E' stato pertanto definita una operazione unaria (coinvolge un solo numero complesso) detta coniugio che dato un generico numero complesso z=a+ib restituisce il numero complesso z*=a-ib. Si dice, quindi, che il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato fornisca il modulo (al quadrato) del numero complesso. z•z*=|z|2. piano numeri complessiPerché si parla di modulo di un numero complesso? Cosa si intende? Siamo abituati a rappresentare i numeri reali o naturali su una retta o semiretta, associando una corrispondenza (biunivoca) fra i numeri reali e i punti di una (generica) retta. Nel caso dei numeri complessi questa corrispondenza geometrica continua a essere utile (se non necessaria e indispensabile per capire alcuni aspetti). Essendo i numeri complessi costituiti da una coppia di numeri (Re, Im), l'associazione fra numeri z e punti del generico piano cartesiano (x,y) risulta immediata e facile. Come visibile nell'immagine, il triangolo OÂZ è rettangolo, per cui è applicabile il teorema di Pitagora. Il segmento OZ è l'ipotenusa del suddetto rettangolo, la cui misura sappiamo essere la radice quadrata della somma dei quadrati della misura dei cateti che in questo caso sono i segmenti OA e AZ. La misura di OA=a mentre la misura di AZ=b, ovvero parte reale ed immaginaria del numero complesso z (corrispondente al punto (a,b) del piano cartesiano). In basso, nel IV quadrante del piano ritroviamo z*, complesso coniugato di z,simmetrico rispetto a z (asse di simmetria l'asse delle ascisse).  Ritorniamo adesso alla divisione. La divisione fra numeri complessi sarebbe difficile da definire e calcolare se non esistesse la proprietà notevole che zz*=|z|2. Infatti, tale proprietà di consente di ricondurre una qualsiasi divisione z1/z2 fra numeri complessi ad una operazione di moltiplicazione, tirando in ballo il coniugio fra due numeri. z1/z2=(a+ib)/(c+id). Avendo definito l'operazione del coniugio e sapendo fin dalle scuole elementari che moltiplicando due quantità per uno stesso numero il rapporto (divisione) non cambia, l'operazione di divisione z1/z2 si trasforma in moltiplicazione se moltiplichiamo sia numeratore (z1) che denominatore (z2) per il numero z2* (complesso coniugato), ottenendo al denominatore un numero reale positivo (quadrato del modulo), al numeratore il prodotto z1 z2*.

z1/z2=(a+ib)/(c+id)=[(a+ib)(c-id)]/[(c+id)(c-id)]=[(a+ib)(c-id)]/[c2+d2].

Ad esempio, prendendo i numeri z1=3+2i e z2=5-7i otterremo i seguenti risultati dalle operazioni:

 z1+z2=8-5i

z1-z2=-2+9i

z1*z2= (3+2i)(5-7i)=15-21i+10i - 14i2=29-11i

z1/z2= (3+2i)/(5-7i)=[ (3+2i)(5+7i)]/[25+49]=[1+31i]/74