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Matematica

Modulo di un numero complesso

Come si confrontano due numeri complessi? Nel campo dei numeri reali siamo abituati a confrontare due numeri per stabilire la relazione minore - maggiore - uguale in modo intuitivo. Nell'associazione numeri reali - retta, stabilito un verso alla retta dei numeri (da - infinito a + infinito, da sinistra verso destra), in una coppia di numeri, il numero più a destra sulla retta è maggiore dell'altro. Ovvero, dati due numeri reali p e q, q>p se esiste un numero r>0 tale che q=p+r. La domanda che ci facciamo adesso è: dati due numeri complessi Z1=a+bi e Z2=c+di, qual è il maggiore?

E' possibile stabilire una "relazione di ordinamento" fra numeri complessi?

In senso stretto, non possiamo ordinare il campo C dei numeri complessi, perché non è possibile introdurre una relazione ≤ che dati tre numeri a,b,c ∈ C, se a≤b ⇒ a+c≤b+c e se a≥0 e b≥0 ⇒ a•b≥0.

Infatti, non ha senso dire i≥0 ed, inoltre, laddove dare un senso a i≥0 la seconda condizione a≥0 e b≥0 ⇒ ab≥0 non verrebbe rispettata con a=i e b=i essendo ab=ii=i2=-1. 

Definendo il concetto di modulo di un numero complesso possiamo confrontare i moduli di due numeri. Ci viene in aiuto il fondamentale teorema di Pitagora e un po' di geometria analitica. Dato un generico numero complesso z=a+bi, rappresentando sul piano cartesiano (piano dei numeri complessi) il punto geometrico associato, di coordinate x=a, y=b, il segmento OZ (dove con Z indico il punto Z=(a,b)) misura radice_quadrata(a2+b2) [applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAZ].

modulo numeri complessi

Quindi, il modulo di un numero complesso rappresenta la distanza dall'origine degli assi. Numeri che hanno lo stesso modulo stanno sulla stessa circonferenza (luogo geometrico dei punti equidistanti dall'origine). Un numero complesso Z2 con modulo maggiore di Z1 sta su un cerchio più esterno, avente raggio maggiore.

Ogni numero complesso può essere rappresentato anche da una coppia di numeri non negativi (raggio, angolo) misurati rispettivamente dall'origine (0,0) degli assi  e dall'asse dei numeri reali (angolo positivo in senso antiorario). Tale rappresentazione dei numeri complessi è detta coordinata polare. Per ogni z=a+bi esiste una (ed una sola) coppia di numeri (ρ, θ) che lo rappresenta in coordinate polari. L'origine degli assi è il polo (zero), il modulo ρ ne è la misura del raggio, l'angolo formato dal raggio rispetto all'asse reale è l'angolo  θ

rappresentazione polare