Matematica

Potenza di un numero complesso

Nel campo dei numeri complessi la potenza di un numero z=(a+ib)  ∈ C è così definita:

zn=z•z• ... •z=(a+ib)n=... che potremmo sviluppare come una potenza n-esima di un binomio.Svolgendo i calcoli, si ottiene un polinomio omogeneo (cioè con termini tutti dello stesso grado n) sommatoria di kiapbq in cui p+q=n. Esiste, però, un metodo più semplice per calcolare la potenza di un generico numero complesso: la formula di De Moivre. Questa formula si applica usando la notazione polare (trigonometrica) dei numeri complessi, ovvero la notazione esponenziale.

Infatti, z=(a+ib) ⇔ (ρ, θ) dove ρ=|z| e θ=arg(z), così come z= ρ(cos θ+sen θ). Usando questa notazione: zn=ρn(cos nθ+sen nθ) . Come si arriva a questa formula così semplice? Utilizzando la notazione esponenziale, z=ρeiθ l'elevazione a potenza si scrive semplicemente come:

zn=ρn(eiθ)n=ρn(einθ)=ρn(cos nθ+sen nθ)