Geometria

Parte della matematica che studia la relazione fra gli enti geometrici. Etimologicamente, geometria è un nome derivato dalle parole greche gea (=terra) e metrìa (=misurazione), letteralmente misurazione della Terra. Naturalmente, la necessità pratica di poter misurare le distanze e le aree, ha indotto sin dalla antichità, a studiare le relazioni che intercorrono fra gli enti geometrici. Classicamente, per geometria si intende la geometria euclidea (così chiamata perché sistematizzata da Euclide millenni fa) che è quella più intuitiva perché mutuata direttamente dalla percezione del mondo che ci circonda. Punto, retta e piano sono gli enti geometrici fondamentali. Insieme ad alcuni assiomi (postulati) formano le basi per la geometria euclidea da cui derivare teoremi anche complessi, fra cui il fondamentale teorema di Pitagora. In tempi moderni sono nate altre geometrie (dette non euclidee), nonché le geometrie differenziali, analitiche etc... 

Figure piane.

La definizione più semplice di figura geometrica è "una figura geometrica è un insieme di punti". Che caratteristiche deve avere questo insieme di punti per rappresentare una figura geometrica? La distinzione base fra le figure geometriche è quella fra figure piane e figure solide, ad indicare le figure geometriche i cui punti sono contenuti tutti nello stesso piano (figura piane) e le figure geometriche i cui punti non giacciono tutti sullo stesso piano.
Figure geometriche:

  • figure piane
  • figure solide

 

Punto, retta e piano e altri enti geometrici.

Punti, rette e piani sono gli enti geometrici fondamentali per definire i restanti enti.

Ente (participio presente del verbo essere) è un oggetto astrattamente considerato, al quale si attribuiscono assiomaticamente determinate proprietà: egeometrici, il punto, la linea, il piano, ecc. [http://www.treccani.it/vocabolario/ente/]

Il ricorso a degli assiomi, cioè a delle proposizioni primitive assunte come vere e non definibili altrimenti e dovuto alla necessità di fermarsi ad un certo punto nella catena di definizioni che richiamano giocoforza altre definizioni. Infatti, le definizioni di oggetti matematici / geometrici ricorrono a parole e concetti che richiamano altri oggetti (enti). Si assumono come vere e primitive (cioè non ancorate ad altri oggetti) alcuni enti come i predetti e alcune loro proprietà per poi poter derivare tutti i restanti.

geometria figure

Di seguito l'elenco dei termini primitivi (frasi da 1 a 7) e dei termini definiti (frasi da 8 a 23). 

  1. Un punto è ciò che non ha parti.
  2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
  3. Gli estremi di una linea sono punti.
  4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
  5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.
  6. Gli estremi di una superficie sono linee.
  7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
  8. Un angolo piano è l'inclusione reciproca di due linee  in un piano le quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
  9. Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette, l'angolo è detto rettilineo.
  10. Quando una retta innalzata a partire da un'altra retta forma con essa angoli adiacenti e uguali fra loro, ciascuno dei  due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui si è innalzata.
  11. Dicesi ottuso l'angolo maggiore di un angolo retto.
  12. Dicesi acuto l'angolo minore di un angolo retto.
  13. Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
  14. Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
  15. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un'unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura siano uguali fra loro.
  16. Quel punto si chiama centro del cerchio.
  17. Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il centro a metà.
  18. Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata, e centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.
  19. Dicesi rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quelle quadrilatere comprese da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
  20. Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali, isoscele quella che ha due lati uguali e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.
  21. Dicesi triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso e acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.
  22. Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli retti.
  23. Si dicono parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da nessuna delle due parti.

Cinque postulati:

  1. E' possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
  2. E' possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.
  3. E' possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio) qualsiasi.
  4. Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
  5. Se, in un piano, una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, se indefinitamente prolungate, finiscono con l'incontrarsi dalla parte detta.

Cinque assiomi:

  1. Cose uguali a un'altra sono uguali tra loro.
  2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
  3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
  4. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l'una con l'altra sono uguali tra loro.
  5. Il tutto è maggiore della parte.

Fonte: http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometrieNonEuclidee/par3.html