Matematica

Funzioni continue

La definizione di funzione continua coinvolge il concetto di limite di funzione e la definizione di intervallo continuo. Il concetto di limite è il fondamento dell'analisi matematica, cioè quella branca della matematica che si occupa di studiare metodi ed oggetti per il calcolo infinitesimale. Ricordando che l'insieme di definizione (dominio) di una funzione è l'insieme di numeri in cui la funzione non perde di significato, risulta interessante capire cosa succede ai valori della funzione stessa all'approssimarsi dei valori di x (variabile indipendente) ai punti in cui la funzione non è definita. Ad esempio, si consideri la funzione fratta f(x)=1/x, definita su tutto l'insieme dei numeri reali tranne in zero. Cosa succede ai valori della funzione quando x è progressivamente vicino allo zero? Consideriamo una successione di numeri sempre più piccoli allo zero e in prima battuta lo facciamo con dei valori da sostituire alla x: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ... e poi i valori negativi -0,1; -0,01; -0,001; -0,0001 ... La funzione 1/x assume questi valori:

x f(x)
-0,1 -10
-0,01 -100
-0,001 -1000
-0,0001 -10.000
0,0001 10.000
0,001 1000
0,01 100
0,1 10

 

 Se questa successione la scriviamo come: 1/10n per valori positivi e -1/10n per valori negativi, notiamo come f(1/10n)=1/[1/10n]=10n e f(-1/10n)=1/[-1/10n]=-10n. Al crescere di n la successione: 1/10n si avvicina zero dalla destra (cioè per valori positivi) mentre la successione - 1/10n si avvicina a zero dalla sinistra (cioè per valori negativi), mentre i corrispondenti valori di f crescono sempre di più. 

 

Premesso che una funzione è definita in un punto (di un insieme numerico, come l'asse reale, un punto del piano, etc) se essa ha significato nel punto stesso. Il limite di una funzione f(x) in un punto x0 è il valore a cui la successione di valori corrispondenti ai valori di xn di un intorno di x0