Matematica
Trasformazioni di coordinate: rotazione degli assi.
- Dettagli
- Categoria principale: Studio
- Categoria: Matematica
- Visite: 1360
La trasformazione di coordinate per rotazione degli assi (l'origine resta immutata), comporta una variazione di coordinate data dalla formula: x'=Rx dove x' è il nuovo vettore delle coordinate, R è la matrice di rotazione e x è il vettore delle coordinate nel sistema originario. Supponiamo, infatti, di effettuare una rotazione degli assi cartesiani (ortogonali, stessa unità di misura), di un angolo theta rispetto all'asse delle ascisse (rotazione antioraria rispetto ad un osservatore che guardi il foglio dall'alto). Una siffatta rotazione comporta una variazione delle coordinate dei punti del piano rispetto al nuovo sistema di riferimento. Posto che se con (x,y) indichiamo la coppia di coordinate rispetto al sistema di riferimento (XOY) e con (x',y') la coppia di coordinate rispetto al sistema di riferimento (X'OY'), la relazione che lega le coordinate del sistema (X'OY') e quelle del sistema (XOY) è:
(x' y')=R (x y)T
e ,viceversa: (x y)=R'(x' y')T.
[La lettera T ad apice indica la trasposizione ovvero (x y)T è il vettore colonna].
Le matrici di rotazione (diretta e inversa) sono legate dalla relazione RR'=I dove I= matrice identità.
Infatti, svolgendo il prodotto RR' si ottiene la seguente identità:
I termini di posto a12 e a21 risultanti sono nulli, mentre quelli di posto a11 e a22 sono 1.
Il determinante della matrice rotazione (sia diretta che inversa) è 1. Infatti, tenuto conto che il determinante di una generica matrice A2x2 è det A2x2=a11*a22-a12*a21 ed in questo caso si ha:
Un generico punto P di coordinate P(x,y) avrà le coordinate P(x',y') nel nuovo sistema di riferimento date dalla formula:
Questa trasformazione può essere applicata anche alle funzioni. Una generica funzione f(x,y) avrà una nuova espressione nel secondo sistema di riferimento, derivante dalla sostituzione di x con x' e y con y'. Per poter fare questa sostituzione abbiamo bisogno di esprimere le vecchie coordinate in funzione delle nuove, applicando la trasformazione inversa.
Ad esempio, consideriamo la funzone che esprime una generica retta in forma implicita: f(x,y)=ax+by+c=0 ed applichiamo la trasformazione di coordinate (rotazione). La funzione assume questa nuova espressione:
a(x'cos θ - y'sin θ)+b(x'sin θ + y'cos θ) + c=0
(a*cos θ+b*sin θ )x'+(-a*sin θ+ b*cos θ)y'+c=0;