Matematica

Trasformazioni di coordinate: rotazione degli assi.

La trasformazione di coordinate per rotazione degli assi (l'origine resta immutata), comporta una variazione di coordinate data dalla formula: x'=Rx dove x' è il nuovo vettore delle coordinate, R è la matrice di rotazione e x è il vettore delle coordinate nel sistema originario. Supponiamo, infatti, di effettuare una rotazione degli assi cartesiani (ortogonali, stessa unità di misura), di un angolo theta rispetto all'asse delle ascisse (rotazione antioraria rispetto ad un osservatore che guardi il foglio dall'alto). Una siffatta rotazione comporta una variazione delle coordinate dei punti del piano rispetto al nuovo sistema di riferimento. Posto che se con (x,y) indichiamo la coppia di coordinate  rispetto al sistema di riferimento (XOY) e con (x',y') la coppia di coordinate rispetto al sistema di riferimento (X'OY'), la relazione che lega le coordinate del sistema (X'OY')  e quelle del sistema (XOY) è:

(x' y')=R (x y)T

trasformazione diretta big

e ,viceversa: (x y)=R'(x' y')T

trasformazione inversa big

[La lettera T ad apice indica la trasposizione ovvero (x y)T è il vettore colonna].

Le matrici di rotazione (diretta e inversa) sono legate dalla relazione RR'=I dove I= matrice identità.
matriceI 2Big

 

 

 

Infatti, svolgendo il prodotto RR' si ottiene la seguente identità:
matrice prodotto

I termini di posto a12 e a21 risultanti sono nulli, mentre quelli di posto a11 e a22 sono 1.

Il determinante della matrice rotazione (sia diretta che inversa) è 1. Infatti, tenuto conto che il determinante di una generica matrice A2x2 è det A2x2=a11*a22-a12*a21 ed in questo caso si ha:

matrice rotazione determinante1

 

matrice rotazione determinante 2

 rotazione assicartesiani

Un generico punto P di coordinate P(x,y) avrà le coordinate P(x',y') nel nuovo sistema di riferimento date dalla formula: 

trasformazione diretta big

Questa trasformazione può essere applicata anche alle funzioni. Una generica funzione f(x,y) avrà una nuova espressione nel secondo sistema di riferimento, derivante dalla sostituzione di x con x' e y con y'. Per poter fare questa sostituzione abbiamo bisogno di esprimere le vecchie coordinate in funzione delle nuove, applicando la trasformazione inversa. 

trasformazione inversa big

Ad esempio, consideriamo la funzone che esprime una generica retta in forma implicita: f(x,y)=ax+by+c=0  ed applichiamo la trasformazione di coordinate (rotazione). La funzione assume questa nuova espressione:

a(x'cos θ - y'sin θ)+b(x'sin θ + y'cos θ) + c=0
(a*cos θ+b*sin θ )x'+(-a*sin  θ+  b*cos  θ)y'+c=0;