Matematica

Triangolo

Triangle scalene

Il triangolo è una figura geometrica piana formata da tre segmenti distinti ciascuno dei quali congiunge due dei tre punti detti vertici. I segmenti in questione si chiamano lati. Il triangolo, il cui nome è composto da "tri" e "angolo", è il poligono più semplice che c'è e le sue proprietà sono fondamentali. Nella prima figura vediamo i tre lati e i tre angoli opposti (ad ogni lato contrassegnato con le barrette, corrisponde un angolo opposto contrassegnato da altrettante lineette curve, ad indicare una connessione fra i due). I triangoli si classificano in base alle relazioni fra i lati o fra gli angoli. Risultato notevole che vale per tutti i triangoli (nella geometria euclidea) è che la somma degli angoli è sempre un angolo piatto, cioè 180° e che la somma di due lati è sempre maggiore del lato restante (ovvero la differenza fra due lati è inferiore al lato restante).

Il triangolo è detto:

  • Scaleno se i lati sono tutti diversi
  • Isoscele se due lati sono uguali
  • Equilatero se i lati sono tutti uguali
  • Rettangolo se due lati formano un angolo retto
  • Acutangolo se gli angoli sono tutti acuti (cioè più piccoli di angolo retto)
  • Ottusangolo se c'è un angolo maggiore dell'angolo retto.

Un triangolo può essere Isoscele e Rettangolo, oppure Scaleno e Acutangolo o Ottusangolo.

 

Poiché per tre punti distinti passa sempre una (ed una sola) circonferenza, il triangolo è sempre inscrivibile dentro una circonferenza (cioè è sempre possibile tracciare una circonferenza che contenga i vertici del triangolo stesso) e circoscrivibile ad una circonferenza (cioè è sempre possibile tracciare una circonferenza interna al triangolo, che tocca in tre punti distinti i tre lati).

Il centro della circonferenza circoscritta (cioè quella che contiene il triangolo, detta anche circumcerchio) è detto circocentro.circumcerchio

Il centro della circonferenza inscritta (cioè la circonferenza contenuta nel triangolo, detta anche incerchio) è detto incentro.incerchio

 

Il perimetro del triangolo (somma dei lati) è uguale a p=AB+BC+AC. Poichè è utile in altre formule, si può indicare con p il semiperimetro (metà del perimetro) per cui questa formula si scrive:

2p=AB+BC+AC.

Area del triangolo: l'area del triangolo con la famosa formula base (lato) per altezza (altezza relativa al lato in questione) diviso due, ovvero: Area=(Base x Altezza)/2.

altezze mediane e bisettrici di un triangolo1

Indicando con S l'area del triangolo, valgono le seguenti uguaglianze:

Ogni lato ha la sua altezza. Che cos'è l'altezza relativo al lato? Ad esempio, l'altezza del lato 'a' è il segmento che dal vertice A (vertice opposto) è perpendicolare al lato 'a' o al suo prolungamento (cioè forma due angoli retti con 'a' ed è dunque il segmento di minima lunghezza che congiunge il vertice A al lato 'a' ovvero al suo prolungamento).  Stesso discorso per gli altri lati. Abbiamo parlato di prolungamento del lato in quanto per i triangoli ottusangoli, l'altezza è esterna al triangolo stesso.

triangolo ottusangolo altezze

 Area del triangolo con la formula di Erone:

qui richiamiamo la formula 2p=AB+BC+AC, per cui p è il semiperimetro (mezzo perimetro). In questa ipotesi l'area del triangolo si ottiene con questa formula: