Matematica

Come si risolve una disequazione?

Le disequazioni  sono oggetto di studio sin dalle scuole superiori e per molti studenti rappresentano un difficile enigma da risolvere. Cercheremo di spiegare la loro risoluzione in modo chiaro e spero semplice, in modo che lo si possa memorizzare.

Ricordiamo che una equazione è una espressione che eguaglia una altra espressione:

se P(x) [leggi P di x] è la prima espressione e Q(x) [leggi Q di x] è la seconda espressione, scrivendo:

P(x)=Q(x) stiamo uguagliando le due espressioni e, quindi, implicitamente, stiamo cercando i valori di x che rendono soddisfatta la eguaglianza (che chiamiamo equazione). Solitamente, per brevità, se poniamo R(x)=P(x)-Q(x), l'espressione di una equazione è semplicemente: R(x)=0 e le soluzioni sono quei valori di x che rendono nulla la espressione R(x).

La disequazione invece è una espressione in cui al posto del segno di uguale troviamo i segni di maggiore, minore, maggiore uguale e minore uguale.

,

(in termini algebrici scriviamo: P(x)=Q(x), cioè la espressione in x che indichiamo brevemente con P(x) deve uguagliare la espressione in x che indichiamo con Q(x), e l'oggetto di studio sono i valori della variabile (o delle variabili) che rendono soddisfatta l'uguaglianza (soluzioni della equazione), in una disequazione, oggetto di studio sono i valori della variabile (di solito sono intervalli), che rendono verificata la diseguaglianza ( e di conseguenza non verificata la eguaglianza - equazione corrispondente). Per essere più chiari, facciamo un esempio.

3x>4 è una disequazione semplice, di primo grado in quanto il massimo esponente della variabile incognita x è 1 (ricordiamo che l'esponente 1 non viene indicato, per cui x1=x).

Per quali valori è verificata questa disequazione? Oggetto della ricerca sono i valori della "x" che moltiplicati per 3 danno come risultato un numero maggiore di 4. Questo è lo scopo della risoluzione di questa disequazione - diseguaglianza.

In questo caso, dividendo le due espressioni (membri) della disequazione per il numero positivo 3, si ottiene:

x>4/3 per cui semplicemente i valori di x maggiori di quattro terzi rendono verificata la disequazione.

Questa diseguaglianza si può anche scrivere portando tutti i termini a primo membro (la prima espressione) come

3x-4>0  ovvero nella forma P(x)>0

Graficamente, si è soliti rappresentare i valori che rendono soddisfatta la disequazione tramite segmenti, semirette o l'intera retta dell'asse dei numeri reali.

[...]

Come si risolve una disequazione di secondo grado?

Una disequazione di secondo grado per essere studiata e analizzata, necessita della conoscenza dei metodi di risoluzione delle equazioni di secondo grado (vedi qui).

Se la equazione associata alla disequazione ha delle soluzioni reali, la stessa potrà scriversi come:

(x-x1)(x-x2)=0 con x1<=x2 (minore se soluzioni distinte, uguale se soluzioni coincidenti).

se indichiamo con una linea retta

              x1                  x2                     
segno x-x1  +++++++  ---------- ------------------
segno x-x2  ------------- -----------  ++++++++++
segno (x-x1)(x-x2)  ------------- ++++++  -----------------

___________________x1___________x2_____________

___________________--------------------------------

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