Matematica

Che cos'è la sezione aurea?

In termini matematici, la sezione aurea è una proporzione continua notevole (cioè particolare), che così si può scrivere:

(a+b):a=a:b cioè

cioè, il termine 'a' è medio proporzionale fra la somma dei termini 'a' e 'b' e il termine 'b' stesso.

Poiché in una generica proporzione il prodotto dei (termini) medi è uguale al prodotto dei (termini) estremi [proprietà fondamentale delle proporzioni],si ha

 (a+b)*b=a*a=a²

Sviluppando i semplici calcoli si ottiene:

ab+b²=a² 

che non può esplicitarsi direttamente né rispetto ad 'a' né rispetto a 'b' per la presenza del cosiddetto termine rettangolare, cioè del termine 'ab'. Ne consegue che occorre risolvere l'equazione 

a²-ab-b²=0

La domanda è: esiste soluzione a questa equazione? La risposta è SI.

Adesso facciamo un passaggio che ci semplifica la scrittura e la ricerca della soluzione. Poiché siamo interessati al rapporto a/b, ovvero (a+b)/a, definiamo ed indichiamo questo rapporto con la lettera greca φ (leggi 'fi', scelta perché il famoso scultore greco Fidia usò questo rapporto nelle sue statue). Poniamo, quindi, questa definizione:

φ=a/b=(a+b)/b      φ è detta costante di Fidia

dividendo tutti i termini dell'equazione per il termine non nullo 'b²' otteniamo

a²/b² -a/b-1=0, che essendo per definizione φ=a/b permette di scrivere l'equazione in questo modo: 

φ²-φ-1=0

Il discriminante Δ=√(1+4)=√5>0 indica che ci sono due soluzioni reali. Le soluzioni sono: 

φ₁=(1-√5)/2 <0

φ₂=(1+√5)/2 >0

 Poiché siamo interessati al caso in cui questa proporzione si applichi a misure di segmenti (lunghezze), la soluzione negativa è da scartare. Per cui la costante di Fidia è:

φ=φ₂=(1+√5)/2=1,618... che è un numero irrazionale algebrico

Consideriamo, adesso, un metodo per la costruzione di un rettangolo che soddisfi la proporzione aurea. 

Partendo da un quadrato di lato 'a', si aggiunge alla base un segmento di lunghezza 'b', ottenuto tramite questa costruzione:

si individua il punto medio M del segmento di base del quadrato (il punto medio divide in due a) e si traccia il segmento 'c'. La misura di questo segmento è data dal teorema di Pitagora:

c²=(a/2)²+a²=5a²/4   »»»»» c= ½a√5

Centrando il compasso sul punto medio M della base del quadrato e aprendolo fino al punto P, disegniamo un quarto di circonferenza in senso orario e prolunghiamo poi con una riga il segmento 'a' della base, intercettando così il punto estremo del quarto di circonferenza appena disegnato. Il segmento che congiunge il centro M del quarto di circonferenza e il punto R è uguale al segmento MP (raggio della circonferenza) e quindi misura:

MR=c=½a√5

Quanto misura il segmento TR?

Tenuto conto che il segmento TM=½a e che MR=½a√5, risulta immediato che la misura del segmento TR=TM+MR=½a(1+√5)

Per cui il rapporto TR/TQ=½(1+√5)  dove abbiamo semplificato per 'a' essendo TQ=a.

Abbiamo quindi ottenuto che nel rettangolo così ottenuto la base TR=a+b e l'altezza PQ=a soddisfano la proporzione aurea.

Quanto misura 'b'?

Presto detto: b=TR-TQ=½a(1+√5) - a = ½a(√5-1)

Il valore di 'b' in funzione di 'a' è dunque b=a*(√5-1)/2  e quindi b/a, rapporto inverso alla sezione aurea φ= a/b = (√5+1)/2 è proprio il fattore (√5-1)/2 detto coniugato di φ. Questo rapporto inverso si indica solitamente con Φ e vale la proprietà notevole che:

Φ=1/φ ovvero φΦ=1

Infatti,

1/Φ   =2/(√5-1)  =   2*(√5+1)/(√5-1)(√5+1)  =  2*(√5+1)/(5-1)  =  2*(√5+1)/4   =(√5+1)/2   =φ

dove abbiamo fatto ricorso al classico trucchetto per eliminare il segno di radice al denominatore della frazione che consiste nel moltiplicare numeratore e denominatore per la stessa quantità (in questo caso √5+1), in quanto, essendo (x+y)(x-y)=x²-y², ne consegue che (√5-1)(√5+1)=5-1=4

I valori delle costanti suddette sono:

φ=1,618...

Φ=0,618...

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