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Matematica

Come si risolve una equazione di terzo grado?

La risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado è argomento di facile studio ed applicazione, mentre risulta più difficile avvenutarsi con le equazioni di grado superiore al secondo.

Infatti, mentre per il primo e secondo grado esistono dei metodi di soluzione che legano i coefficienti dei termini incogniti ed il termine noto che figurano nell'equazione con le radici [ad esempio, in una generica equazione di secondo grado, posta nella forma x2+sx+p=0 si ha che il coefficiente s è la somma, cambiata di segno, delle radici, mentre il termine noto p è il prodotto delle radici], per i polinomi di grado superiore al secondo, in generale, questo non si verifica.

Ci sono casi notevoli in cui la forma dell'equazione permette di trovare la soluzione esatta, in forma analitica (cioè esprimendo la soluzione nella forma x=p(a,b,c...) che significa che la 'x' è funzione dei coefficienti).

Il caso più semplice, per una generica equazione di grado n è che la stessa sia nella forma xn+c=0.

In questi casi, la soluzione esiste se: xn=-c ha significato, ovvero esiste un numero reale che soddisfa l'equazione. Se 'n' è un numero pari, infatti, la potenza xn sarà sempre positiva. Naturalmente, nel campo dei numeri complessi l'equazione ha sempre soluzione. Ricordiamo, infatti, che i matematici hanno introdotto i, la cosiddetta unità immaginaria, per dare soluzione alle radici (pari) di numeri negativi. Tale introduzione ha permesso di allargare l'ambito numerico a quello dei numeri complessi.

x3+c=0 ha sempre soluzione, in quanto trattandosi di potenza dispari, avrà soluzione sia per c>0 che per c<0.

x3=-c    >>>   x=radice_terza(-c)

Un'altra equazione di facile soluzione è sicuramente quella senza il termine noto: ax3+bx2+cx=0 in quanto è immediato capire che possiamo evidenziare l'incognita e trasformare così l'equazione nella forma:

x(ax2+bx+c)=0 prodotto di due polinomi (in realtà un monomio per un polinomio).

La soluzione banale è dunque x=0, mentre le altre due soluzioni (se esistono) si trovano risolvendo l'equazione di secondo grado relativa al secondo fattore ax2+bx+c.

Che succede, invece, se non ci sono coefficienti / termine noto nulli?

La generica equazione di terzo grado non è di immediata soluzione. Alla formula risolutiva si arriva tramite dei passaggi algebrici ingegnosi. Qui la dispensa dell'UniCatt (fonte).