Matematica

Come si risolve una equazione di terzo grado?

La risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado è argomento di facile studio ed applicazione, mentre risulta più difficile avvenutarsi con le equazioni di grado superiore al secondo. Infatti, mentre per il primo e secondo grado esistono dei metodi di soluzione che legano i coefficienti dei termini incogniti ed il termine noto che figurano nell'equazione con le radici [ad esempio, in una generica equazione di secondo grado, posta nella forma x2+sx+p=0 si ha che il coefficiente s è la somma, cambiata di segno, delle radici, mentre il termine noto p è il prodotto delle radici], per i polinomi di grado superiore al secondo, in generale, questo non si verifica.

Ci sono casi notevoli in cui la forma dell'equazione permette di trovare la soluzione esatta, in forma analitica (cioè esprimendo la soluzione nella forma x=p(a,b,c...) che significa che la 'x' è funzione dei coefficienti).

Il caso più semplice, per una generica equazione di grado n è che la stessa sia nella forma xn+c=0.

In questi casi, la soluzione esiste se: xn=-c ha significato, ovvero esiste un numero reale che soddisfa l'equazione. Se 'n' è un numero pari, infatti, la potenza xn sarà sempre positiva. Naturalmente, nel campo dei numeri complessi l'equazione ha sempre soluzione. Ricordiamo, infatti, che i matematici hanno introdotto i, la cosiddetta unità immaginaria, per dare soluzione alle radici (pari) di numeri negativi. Tale introduzione ha permesso di scoprire il cosiddetto campo dei numeri complessi.

x3+c=0 ha sempre soluzione, in quanto trattandosi di potenza dispari, avrà soluzione sia per c>0 che per c<0.

x3=-c    >>>   x=radice_terza(-c)

Un'altra equazione di facile soluzione è sicuramente quella senza il termine noto: ax3+bx2+cx=0 in quanto è immediato capire che possiamo evidenziare l'incognita e trasformare così l'equazione nella forma:

x(ax2+bx+c)=0 prodotto di due polinomi (in realtà un monomio per un polinomio).

La soluzione banale è dunque x=0, mentre le altre due soluzioni (se esistono) si trovano risolvendo l'equazione di secondo grado relativa al secondo fattore ax2+bx+c.

Che succede, invece, se non ci sono coefficienti / termine noto nulli?

La generica equazione di terzo grado non è di immediata soluzione. Osserviamo, però, delle proprietà notevoli:

Se x1,x2,x3 sono le radici della equazione, ciò comporta che esse siano zeri del polinomio di terzo grado che rappresenta il primo termine dell'equazione: cioè per xi generica radice, si ha axi3+bxi2+cxi+d=0 soddisfatta.

Per cui il polinomio di terzo grado si può fattorizzare (cioè esprimere come prodotto di tre fattori) come segue:

P3(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) dove P3(x) (leggi P 3 di x) è il polinomio di terzo grado (il tre a pedice).

Sviluppiamo questo prodotto:

(x-x1)(x-x2)(x-x3)=[x2-(x1+x2)x+x1x2](x-x3)=x3-x3x2-(x1+x2)x2+x1x2x+(x1+x2)x3x-x1x2x3=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3

Per cui si deduce che i coefficienti della forma canonica sono:

a=1

b= - (x1+x2+x3)

c=x1x2+x1x3+x2x3

d= - x1x2x3

come per tutti i polinomi in genere, il coefficiente del termine di grado n-1 (se il polinomio ha grado n), è la somma delle radici, cambiata di segno, mentre il termine noto è il prodotto delle radici, anche esso cambiato di segno.

 Casi particolari.

Caso x1=0

x1=0 implica d=0, cioè il termine noto è nullo

e l'equazione è di facile soluzione perché ponendo in evidenza l'incognita "x", ci ritroviamo nel caso x*(x2+bx+c)=0

Caso x1=1

x1=1 implica: b= -(1+x2+x3)     c=x2+x3+x2x   d=x2x3.

in questo caso,  la relazione fra i coefficienti e le radici diventa:

b= - (1+x2+x3)

c=x2+x3+x2x3

d= - x2x3

per cui c+d=x2+x3 e b= -1 + x2+x3

Le radici si possono trovare risolvendo il sistema formato dalle due equazioni:

x2+x3=c+d

x2+x3=b+1

per cui, laddove risultasse c+d=b+1 ci troveremmo in questo caso particolare. Tale condizione costituisce condizione sufficiente. Quanto valgono le radici x2 e x3? ...

Caso particolare utile alla risoluzione dell'equazione generale (vedi dispensa del Politecnico di Torino qui).

x3+bx2+cx+d=0 

b=0

x3+cx+d=0

Questa equazione priva del termine di secondo grado si risolve con una sostituzione di variabile. Infatti, se facciamo la seguente sostituzione di variabile: x=u+v, c=-3uv (interessante notare come si leghi il coefficiente del termine di primo grado con le variabili in sostituzione), si ottiene la seguente equazione:

(u + v)3 - 3uv(u+v)+d=0

Lo sviluppo di un cubo di binomio è: (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 per cui avremo:

u3+3u2v+3uv2+v3 -3u2v - 3uv2 +d=0 (qui si comprende il motivo per cui si è ricorso al trucchetto c=-3uv)

u3+3u2v+3uv2+v3 -3u2v -3uv2 +d=0 (i termini opposti si annullano)

con le sostituzioni abbiamo ridotto l'equazione nella forma: u3+v3 +d=0

Il legame fra le variabili u,v si può