Matematica

L'unità immaginaria e i numeri complessi

Per secoli i matematici si sono chieste se fosse possibile dare un senso ad operazioni come l'estrazione di radice pari (radice quadrata in primis) di numeri negativi. Nella risoluzione anche di semplici equazioni di secondo grado ci si imbatte spesso in situazioni come la seguente:

x2+1=0 

orbene, dalle proprietà fondamentali delle potenze, sappiamo che un qualsiasi numero elevato al quadrato sarà sempre positivo, per cui l'equazione che vede protagoniste due quantità positive sommate non può avere soluzione...nel mondo dei numeri reali..ma la matematica, ancorché sia un riflesso del mondo concreto è anche regno delle idee e dei concetti e qui trovano cittadinanza le intuizioni geniali dei grandi matematici, fisici e logici che si sono addentrati in questo mondo..

Un numero che dovesse soddisfare l'equazione suddetta dovrebbe essere tale che:

x2=-1 e, quindi, x=radice_quadrata(-1)

è mai possibile che si possa immaginare un numero siffatto?

Inventiamolo e poi capiremo che in realtà lo abbiamo solo scoperto. Esiste già, perché soddisfa tutti i requisiti di numero.

I matematici lo hanno battezzato i, unità immaginaria. Somiglia tanto all'1 ed è inoltre i-mmaginario.

i2=-1     questa è la sua proprietà fondamentale.

Il quadrato dell'unità immaginaria è -1. Lo possiamo sommare, sottrarre, moltiplicare...e dividere...sia per un altro numero immaginario, sia per un numero reale.

i+i=2i

3 x i= 3i  moltiplicando per un numero reale, si ottiene un numero immaginario

4i*2i=8i2=-8 .... la moltiplicazione di due numeri immaginari restituisce un numero reale

Come si fa la divisione?

3i/4i=3/4 la divisione di due numeri immaginari restituisce un numero reale, come per la moltiplicazione.

la divisione di un numero reale per un numero immaginario ci deve restituire un numero ancora immaginario.

Esempio: 3:i= 3/i ?

Niente paura, ricordiamoci che in una frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per qualsiasi numero non nullo, si ottiene una frazione con lo stesso valore (rapporto) per cui con questo semplice trucchetto si ottiene:

3:i=(3*i)/(i*i)=3i/(-1)= -3i

Per cui troviamo altra proprietà notevole di i: il suo reciproco è uguale al suo opposto (in segno). 

1:i= - i

Risulta evidente che i numeri immaginari da soli non vanno lontano perché se è vero che la somma e la sottrazione di numeri immaginari restituisce un numero immaginario, la moltiplicazione di due  numeri immaginari (o cmq un numero pari) produce un numero reale. [L'insieme dei numeri immaginari non soddisfa le proprietà dei "campi numerici" per la coppia di operazioni (+,*) in quanto il prodotto di due numeri immaginari produce un numero non immaginario].

Che succede se mettiamo insieme numeri reali ed immaginari in operazioni di somma? Si ottiene un nuovo insieme di numeri, completamento dei numeri reali. L'insieme è il famoso insieme dei numeri Complessi. 

Se con a indico un generico numero reale e con bi un generico numero immaginario (composto dal fattore reale b e dall'unità immaginaria i), si ottiene il numero:

a+bi quale generico numero complesso con le seguenti proprietà:

z1=a+bi

z2=c+di

la somma z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i  è nuovamente un numero complesso in cui la parte reale è la somma delle parti reali e analogamente la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie... Leggi "i numeri complessi".