Matematica

Quanto fa meno per meno?

Che significa fare meno per meno?

Naturalmente non si tratta di moltiplicare i due operatori della sottrazione uno per l'altro. Infatti, non scriveremo mai l'operazione -*- (dove - indica l'operatore di sottrazione, * l'operatore di moltiplicazione). Assume significato se nell'operazione vi comprendiamo anche i numeri. Il prodotto si fa tra due o più numeri. Quindi, ad esempio, (-1)*(-1) oppure (-2)*(-5) è un prodotto in cui sono coinvolti due numeri negativi.

Quale risultato si ottiene moltiplicando due numeri negativi?

(-1)*(-1)=??

Per dimostrare la regola dei segni, ovvero come si arriva al fatto che

  • +*+=+
  • +*-=-
  • -*+=-
  • -*-=+

Si ricordi la proprietà distributiva della moltiplicazione, che è la proprietà che stabilisce:

a*(b+c)=a*b+a*c

e cioè il fatto che il prodotto di un numero per la somma di altri numeri è pari alla somma del numero stesso per ciascun singolo numero della somma che costituisce il secondo fattore. 

 

(Ricordiamo che i numeri coinvolti in una moltiplicazione sono detti fattori, mentre prodotto è il numero risultato che si ottiene).

Esempio:

2*(3+4)=2*7=14

2*3+2*4=6+8=14

Sapendo che il prodotto di un numero per zero da sempre zero, che in simboli possiamo scrivere:

b*0=0

0*b=0

con un piccolo ma lecito trucchetto scriviamo 0=a-a

(a-a)*b=a*b+(-a)*b=0  

da cui si ricava che (-a)*b=-a*b

Il prodotto di un numero negativo per un numero positivo da come risultato un numero negativo.

(Stiamo assumendo che a,b sono entrambi positivi, per cui per indicare un numero negativo abbiamo bisogno del segno - ).

a=1, b=1

(-1)*1=-1

per cui - * + = - e viceversa per la proprietà commutativa della moltiplicazione.

(La proprietà commutativa della moltiplicazione stabilisce che dati due fattori x,y il prodotto x*y=y*x, cioè posso scambiare di posto i due fattori ed il risultato è lo stesso).

Adesso applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione al prodotto:

0*(-b)=0

nessuno vieta di scrivere [+a - a](-b)=(+a)*(-b)+(-a)*(-b)= - ab + (-a)*(-b)

poiché abbiamo sopra dimostrato che (-a)*b= - ab (e analogamente a*(-b)= - ab)

- ab + (-a)*(-b)=0

sommiamo ad ambo i membri la quantità positiva ab

+ab - ab  + (-a)*(-b)= + ab

per cui la differenza +ab - ab =0

e quindi: (-a)*(-b)= +ab da cui, data la genericità dei numeri (- a) e (- b) si ricava la regola che "meno per meno fa più".