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Matematica

Cos'è un limite in matematica?

Cos'è un limite? Il valore limite in un punto (o ad infinito) a cui tende una data espressione / funzione è il valore a cui tende (si avvicina) la funzione all'approssimarsi del valore della variabile al punto in questione. Spieghiamoci meglio. In ordine inverso, partiamo dalla analisi del comportamento di una funzione di semplice scrittura: f(x)=1/(x-1) 

funzione fratta 1

dalla aritmetica sappiamo che dividere un numero per zero non ha significato (visto che moltiplicando un qualsiasi numero per zero si ottiene sempre zero l'operazione di divisione per zero è indefinita, cioè non ha significato). Questa funzione fratta (una funzione si dice fratta quando è composta da una frazione in cui il denominatore contiene la variabile) ha sicuramente problemi nel punto che rende nullo il denominatore. Essendo il denominatore D(x)=x-1 è di tutta evidenza che esso sarà nullo in corrispondenza del valore x=1. La funzione risulta definita in tutti i punti eccetto che nel punto 1. Cosa succede se la x vale 0,9 e poi 0,99 e poi 0,999.. oppure 1,1 1,01  1,001 ...1,000....1 ? (Con un linguaggio più formale: cosa succede nell'intorno di 1?)

 

intorno 1

Nella immagini i rombi di diverso colore indicano punti (numeri) prossimi al numero 1 (la distanza - differenza fra il numero x e 1 è sempre più piccola).

Facciamo una piccola considerazione sui segni:

La funzione fratta f(x)=N(x)/D(x) è composta da un numeratore N(x) costante (quindi, in effetti non dipendente da x) e da un denominatore D(x)=x-1 che è positivo per x-1>0 e cioè x>1, negativo per x<1 e nullo per x=1 (qui però la funzione f(x) perde di significato).

Pertanto, i valori di x<1 rendono negativo il valore di f(x) mentre i valori di x>1 rendono positiva la funzione f(x).

Supponiamo di avvicinarci ad 1 dalla destra (cioè x assume valori maggiori di 1 sempre più vicini ad 1). La funzione f(x) assume valori positivi sempre maggiori. Infatti, se x=x1 è un determinato valore prossimo ad 1 f(x) avrà questo corrispondente valore:

M1=f(x1)=1/(x1-1) cioè M1=1/(x1-1) 

Preso 1<x2<x1 (prendiamo un valore di x maggiore di 1 minore di x1), il corrispondente valore M2=f(x2)=1/(x2-1) è maggiore di M1.

Oltre che essere intuitivo questo risultato, in quanto stiamo dividendo 1 (numeratore) per una quantità (x2-1) inferiore a (x1-1), poniamo e verifichiamo l'espressione:

M2>M1

1/(x2-1)  > 1/(x1-1)

Moltiplichiamo ambo i membri per (x1-1) e poi per (x2-1) in modo da eliminare i denominatori (sono entrambe quantità positive perché x1 e x2 sono maggiori di 1).

(x1-1) * 1/(x2-1)>(x1-1)* 1/(x1-1)

(x1-1)/(x2-1)>1 

x1-1>x2-1

x1>x2 soddisfa la ipotesi iniziale che x2 fosse inferiore a x1 (quindi più vicino ad 1) e, pertanto, M2>M1.

 

Questa dimostrazione indica che all'approssimarsi ad 1 dalla destra, cioè per valori maggiori di 1, la funzione cresce sempre, assumendo valori positivi sempre maggiori, senza avere alcun valore per la limiti superiormente . Non esiste un valore positivo che sia sempre maggiore di f(x). La funzione ha limite infinito.

limite 2

 

La notazione che figura nella immagine sopra riportata si legge: limite per x che tende ad 1 dalla destra di effe di x è uguale a infinito.

Lo stesso ragionamento si può fare per il limite da sinistra, cioè per valori minori di 1. In tal caso il denominatore risulta essere negativo e quindi tutta la funzione è negativa. Non esiste alcun valore finito che possa limitare la funzione perché qualsiasi valore scelto come limite inferiore sarebbe definitivamente superato da un certo valore di x in poi.

limite 3

La notazione che figura nella immagine sopra riportata si legge: limite per x che tende ad 1 dalla sinistra di effe di x è uguale a meno infinito.

grafico 1 su x 1ridotto

Attraverso un sintetico studio della funzione funzione fratta 1

abbiamo illustrato il concetto di limite infinito per valore finito della variabile. Infatti, il punto (numero) 1 è punto di discontinuità della funzione (la funzione non è definita in questo punto). Al tendere di x al valore finito 1 la funzione assume valore infinito positivo per valori di x maggior di 1, infinito negativo per valori di x inferiori ad 1.

In generale, il limite destro per valore finito di x (x0 è un numero reale) è il valore a cui tende la funzione all'approssimarsi di x ad x0 dalla destra (cioè per valori maggiori di x0). 

limite da destra infinito