Matematica

Dominio di una funzione

Il dominio di una funzionedefinizione funzione è l'insieme dei punti (numeri) in cui la funzione è definita, cioè nei quali essa non perde di significato. Alcune funzioni, infatti, hanno delle limitazioni derivanti dal rispetto di alcune regole matematiche / aritmetiche elementari, per cui, ad esempio, non possono essere definite nei punti che rendono nullo il denominatore di una frazione o negativo l'argomento di un radicale pari. In tal senso,quindi, per ogni funzione si devono stabilire gli intervalli di validità della funzione (primo passo dello studio di funzione) e studiare il comportamento in prossimità (intorno) dei punti in cui la funzione non è definita. 

Esempio: funzione radice quadra che associa ad ogni elemento x del dominio la sua radice quadrata ha senso solo per x>=0 (x maggiore o uguale a zero) all'interno dei numeri reali (ricordiamo che esiste un insieme di numeri detto complesso, nel quale le radici di numeri negativi assumono significato, perché rispettano tutte le regole matematiche...). Il dominio è costituito da tutti i numeri reali non negativi:

dominio reali non negativi

 Seppure la radice quadrata (ed in generale le radici pari) abbiano due possibili soluzioni, per convenzione, al fine di rispettare la definizione di funzione che associa ad ogni x un solo valore f(x), si prende in considerazione soltanto la soluzione positiva. Infatti, il quadrato di un numero generico z è uguale al quadrato del suo opposto: z2=(-z)2=(-z)(-z)=(-1)*(-1)*z*z=z*z

Prendiamo in considerazione la funzione funzione 1piu5x su radice x meno 2, essa è leggermente più complessa della precedente perché figura un radicale (pari) a denominatore della parte fratta. Qual è il dominio di questa funzione? Le espressioni coinvolte nella formula della funzione sono la componente costante pari ad 1 e la componente fratta componente fratta 5x su radice x meno 2 a cui dedicheremo la nostra attenzione. La frazione ha significato per tutti i valori che non rendono nullo il denominatore radice x meno 2 che a sua volta, essendo una radice quadrata, ha non perde di significato per i valori che rendono non negativo (cioè maggiore o uguale a zero) l'argomento x-2. Quindi deve essere contemporaneamente verificato che: diseq rad x meno 2 positivo e diseq x meno 2 maggiore uguale a zero

 

 dis grafico x 2

L'intervallo di valori che soddisfano contemporaneamente le due disequazioni ( che differiscono solo per il fatto che la seconda contiene un segno di maggiore uguale) è costituito da tutti i valori x>2. Usando una notazione matematica più specifica indichiamo l'intervallo aperto a sinistraintervallo aperto sinistra 2 infinito definizioneIl simbolo che sembra un 8 rovesciato su un fianco è il simbolo di infinito.