Matematica

Dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l'insieme dei punti (numeri) in cui la funzione è definita, cioè nei quali essa non perde di significato. Alcune funzioni, infatti, hanno delle limitazioni derivanti dal rispetto di alcune regole matematiche / aritmetiche elementari, per cui, ad esempio, non possono essere definite nei punti che rendono nullo il denominatore di una frazione o negativo l'argomento di un radicale pari. In tal senso,quindi, per ogni funzione si devono stabilire gli intervalli di validità della funzione (primo passo dello studio di funzione) e studiare il comportamento in prossimità (intorno) dei punti in cui la funzione non è definita. 

Esempio:  che associa ad ogni elemento x del dominio la sua radice quadrata ha senso solo per x>=0 (x maggiore o uguale a zero) all'interno dei numeri reali (ricordiamo che esiste un insieme di numeri detto complesso, nel quale le radici di numeri negativi assumono significato, perché rispettano tutte le regole matematiche...). Il dominio è costituito da tutti i numeri reali non negativi:

 Seppure la radice quadrata (ed in generale le radici pari) abbiano due possibili soluzioni, per convenzione, al fine di rispettare la definizione di funzione che associa ad ogni x un solo valore f(x), si prende in considerazione soltanto la soluzione positiva. Infatti, il quadrato di un numero generico z è uguale al quadrato del suo opposto: z²=(-z)²=(-z)(-z)=(-1)*(-1)*z*z=z*z

Prendiamo in considerazione la funzione , essa è leggermente più complessa della precedente perché figura un radicale (pari) a denominatore della parte fratta. Qual è il dominio di questa funzione? Le espressioni coinvolte nella formula della funzione sono la componente costante pari ad 1 e la componente fratta  a cui dedicheremo la nostra attenzione. La frazione ha significato per tutti i valori che non rendono nullo il denominatore  che a sua volta, essendo una radice quadrata, ha non perde di significato per i valori che rendono non negativo (cioè maggiore o uguale a zero) l'argomento x-2. Quindi deve essere contemporaneamente verificato che:  e 

L'intervallo di valori che soddisfano contemporaneamente le due disequazioni ( che differiscono solo per il fatto che la seconda contiene un segno di maggiore uguale) è costituito da tutti i valori x>2. Usando una notazione matematica più specifica indichiamo l'intervallo aperto a sinistraIl simbolo che sembra un 8 rovesciato su un fianco è il simbolo di infinito. 

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